CssClass 속성 추가하면 된다.
<asp:TextBox ID="box_id" runat="server" CssClass="your classname"></asp:TextBox>
위 예제 처럼 your, classname 이라고 CssClass에 넣으면
<input name="ctl00$ContentPlaceHolder1$box_id" type="text" id="ContentPlaceHolder1_box_id" class="your classname">
이렇게 html 엘리먼트에 클래스 명이 추가된다.